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Lacan, L’inconscient et les Mathématiques

La puissance du Continu

Résumé de la deuxième séance

Date de mise en ligne : samedi 28 juin 2003

Auteur : Agnès SOFIYANA

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A la première séance, nous avons pu constater que l’histoire de la Géométrie avait connu trois grandes discontinuités. Les maths se concevaient d’abord à partir du réel, à l’aide de l’intuition, de la perception et des représentations mentales que ce Réel inspire. Les déplacements internes aux mathématiques se sont fait en rupture et en continuité simultanément : en rupture avec les systèmes antérieurs, en proposant de nouveaux systèmes de représentation et en continuité avec les résultats inscrits dans le système précédent. La progression des maths est à chaque fois innovante par les nouvelles méthodes qu’elles proposent ou par le nouveau système dans lequel elles décident de s’inscrire et chaque innovation constitue un enchaînement cohérent, une liaison continue entre l’avant et l’après, une connexion fluide, de telle sorte qu’une résultat vrai dans le système précédent l’est encore dans le nouveau système.

On pourrait qualifier l’histoire mathématique de métamorphose continue... C’est peut-être en cela que les mathématiques diffèrent des sciences physiques et biologiques, dans lesquelles toute découverte n’est que temporaire et destinée à être tôt ou tard réfutée ou, au mieux corrigée, dans les détails. En mathématique, tout théorème démontré reste valide ad vitam eternam, à l’intérieur du système dans lequel la démonstration a été effectuée.

Cependant, si aucune démonstration persistante n’a été démentie au cours de l’histoire, il est faux d’affirmer que toute assertion mathématique a été rigoureusement démontrée et validée. En effet, depuis l’Antiquité avec Platon et Euclide et ce jusqu’à la fin du 19ème siècle, les mathématiques fonctionnent plutôt bien et plutôt à l’intuition. Les Eléments d’Euclide forment une axiomatisation exhaustive de l’arithmétique et de la géométrie. L’adéquation entre le monde réel et la modélisation mathématique est garante de la bonne utilisation de l’intuition pour construire et étudier de nouvelles notions. On manipule des êtres mathématiques (nombres, distances, lieux, continuité, limite, infinis, etc.) sans les avoir initialement définis précisément parce qu’ils sont intuitivement validés par l’assentiment de l’entendement humain.

1. FIN DU 19EME SIECLE - LES MATHEMATIQUES QUITTENT L’INTUITION ET S’ORIENTE VERS UNE RIGUEUR.

1.1. La mathématique est endogène et inutile.

Pendant plus de deux millénaires, l’activité du mathématicien s’est attaché à modéliser le Réel à partir de l’intuition perceptive qu’il a de ce Réel ; mais le mathématicien est avant tout un homme ou une femme et comme le rappelle Jean Dieudonné « il y a une espèce de curiosité innée et naturelle de l’être humain à résoudre des devinettes ». Ainsi, beaucoup de mathématiques sont nées de la résolution d’énigmes totalement déconnectées du Réel, ou tout au moins de l’applicabilité des résultats à une technique que l’homme aurait cherché à maîtriser (comme c’est nécessairement le cas en chimie, en biologie, etc.). Alors à la question « A quoi servent les mathématiques ? », Platon aurait répondu, à l’instar de ses successeurs : « Les mathématiques se doivent de ne servir à rien ! ». D’ailleurs, il méprisait toute tentative d’utilisation des mathématiques à la construction de machines, affirmant que la pensée mathématique ne pouvait s’abaisser à une quelconque application aux techniques. Ainsi, l’idée que les mathématiques proviennent des besoins techniques est extrêmement récentes et tout à fait erronée. Les mathématiques sont par essence endogènes et autarciques.
Heureusement, Platon ne fut pas obéi aveuglément et l’application des mathématiques constitua tout de même une source importante de découvertes et d’inventions non négligeables et participa à l’évolution des sciences et des techniques.

1.2. Au cours du 19ème siècle, à Göttingen et à Paris, plusieurs mouvements tracent en parallèle la direction qui aboutira à la révolution mathématique des années 1880.

La particularité de ce siècle est que les travaux en mathématique et en physique tendent à s’éloigner de la perception intuitive du réel en mettant en évidence l’existence des surfaces courbes et en étudiant leurs propriétés spécifiques. En quelques dizaines d’années, la géométrie non euclidienne se développe et la géométrie classique, basée sur les axiomes euclidiens, n’est plus considérée que comme un cas particulier d’une science plus générale de l’espace.

On se rappelle qu’en 1832, durant la nuit précédent le duel qui lui sera mortel, Evariste Galois (1811-1832), âgé de 20 ans, écrit son testament mathématique, portant sur la théorie des groupes. Ce n’est que 40 ans plus tard, que le nom de Galois est immortalisé dans l’histoire des mathématiques, grâce à l’hommage que lui rend M. Jordan (1838-1922) dans son Traité des substitutions et des équations algébriques, en 1870. La théorie des groupes est implicitement liée à l’idée de structure, or c’est précisément cette idée de structure qui manque aux multiples champs des mathématiques. En effet, la géométrie étudie des cas particuliers de figures ou de transformations, l’analyse s’intéresse aux propriétés de certaines fonctions liées à des courbes ou à des trajectoires spécifiques (sinusoïdes, cycloïdes, etc.), l’algèbre cherche à déterminer des solutions à des équations de degré croissant, l’arithmétique se préoccupe des opérations sur les nombres. Mais tous les travaux effectués jusqu’à présent ne portent que sur des cas singuliers ou remarquables, issus de l’observation, de l’intuition ou de l’imagination des Hommes.
La théorie des groupes a ceci d’innovant qu’elle permet d’englober dans une structure des éléments de même nature et d’y étudier leurs propriétés ou leurs relations, sans avoir besoin de dénombrer les éléments ni d’en extraire un élément en particulier. Félix Klein avait bien saisi l’objectif conceptuel de la théorie des groupes et dès 1871, à Göttingen, il reprend les travaux de Ferdinand Möbius sur les transformations continues de la géométrie projective et les inscrit dans la géométrie non euclidienne ; il entreprend un programme totalement inédit de classification des invariants de ces transformations affines, à l’aide de la théorie des groupes de Galois : le programme d’Erlangen. Il est considéré comme l’instigateur d’une théorie algébrique de la géométrie, créant ainsi le premier pont intra-mathématique entre deux disciplines auparavant bien distinctes, l’algèbre et la géométrie.

L’approche intuitive du passage continu d’une forme à une autre - autrement dit, des transformations continues - intéresse également Johann Benedickt Listing (1808-1882), élève de Gauss, qui travaille sur l’Analysis Situs, branche de la géométrie inauguré par Euler et Leibniz un siècle plus tôt. Listing rebaptise en 1836 cette branche des mathématiques la topologie, de topos = lieu et logos = discours, science. Il caractérise la topologie comme l’étude des propriétés invariantes par transformation bijective et bicontinue (ce qui est précisément l’objet du programme d’Erlangen initié par Klein).

Par conséquent, on peut assimiler la topologie au groupe de la géométrie des transformations bijectives et bicontinue, c’est à dire que la topologie serait l’étude du groupe des homéomorphismes de l’espace de la géométrie non euclidienne.

1.3. Le 19ème siècle : une volonté de rigueur en mathématique.

Comme on l’a entraperçu précédemment, les démonstrations en géométrie ont longtemps été stimulées et avalisées par l’intuition du géomètre. En effet, les absences ou les fautes de rigueur (aujourd’hui considérées comme telles a posteriori) sont essentiellement dues aux représentations intuitives de l’objet mathématique considéré qui conduisent le géomètre à introduire des propositions fondées sur sa seule intuition. Réciproquement, si une démonstration aboutissait à un résultat heurtant le bon sens, c’est que la démonstration devait contenir une erreur ou bien qu’elle avait crée un monstre - par exemple, l’irrationalité de la diagonale d’un carré était un monstre pour les pythagoriciens qui ne connaissaient que les entiers ou les rationnels.
Les mathématiques se transforment, se réforment ; certains mathématiciens ne se satisfont plus de ce fonctionnement contingent et bienheureux des preuves et expriment leur volonté de préciser la rigueur indispensable à leur discipline. Dès le milieu du 17ème siècle, Leibniz avait émis le vœu de construire un langage universel qui permettrait de formaliser et d’exprimer la pensée mathématique. Euler y travailla également et tous deux introduirent des écritures symboliques encore en usage dans les mathématiques actuelles. Mais, la création d’une écriture spécifique ne suffit pas à définir la langue de la science et les preuves utilisant le calcul symbolique contiennent encore, au 17ème et 18ème siècle, des présupposés implicites dont la seule légitimité est de coïncider avec une certaine réalité perceptive ou avec une évidence géométrique.

Au 19ème siècle, les sciences s’éloignant de l’intuition, l’adéquation à la réalité perceptive comme critère de vérité des démonstrations est abandonnée : la vérité n’est alors plus garantie par l’évidence mais par la démonstration déductive qui se doit d’être irrévocablement rigoureuse.

1.4. L’axiomatisation et la logique propositionnelle - de Boole (1840) à Peano (1889)

Comment définir la rigueur dans l’emploi mathématique ? Depuis Euclide et Archimède, une preuve est dite rigoureuse si elle part d’axiomes explicites et si chaque pas de la démonstration est construit suivant une règle de déduction. La rigueur nécessite donc une axiomatisation de la théorie dans laquelle la démonstration s’effectue. Euclide et Archimède avaient construit une axiomatique satisfaisante jusque là. Mais la découverte de la géométrie non euclidienne et l’existence d’aberrations, comme la courbe discontinue dérivable en tout point, rendent compte des limites de l’axiomatique euclidienne, trop proche de l’intuition et de la perception du Réel.

L’idée de refonder l’axiomatisation des mathématiques se développe et on se demande : « S’il y avait une origine de toute mathématique, alors de quels éléments premiers serait-elle faite ? ». En d’autres termes, quels sont les axiomes premiers des fondements des mathématiques ? Une nouvelle conception de la rigueur et de l’axiomatisation se dégage : les axiomes et les règles de déduction doivent être explicites et ne porter que sur des objets abstraits ou formels, dépouillés de tout contenu intuitif ou réel. « Les axiomes ne formulent donc pas des hypothèses sur les objets du monde. Ce sont des énoncés liés à d’autres par une relation de déduction. »

Le logicisme, initié par Georges Boole (1815-1864), répond tout à fait à ces exigences de formalisation privée de contenu intuitif. En 1847, dans The mathematical analysis of logic, Boole introduit la notion d’ensemble algébrique et les symboles U et U àl’envers pour signifier l’union et l’intersection de deux ensembles. Il présente également des règles s’articulant sur les lois générales de la pensée permettant de manipuler ces symboles dans une théorie ensemblistes et peut être considéré comme le précurseur de la logique mathématique contemporaine. Trente ans plus tard, influencé par les algèbres de Boole, Gottlob Frege (1848-1925) développe le langage formalisé avec le calcul des propositions et la théorie de la quantification en 1879 dans Begriffsschrift. Il propose des symboles (et, ou, implication, équivalence) et des règles de bonne formation (d’inférence) et de fermeture qui définissent la logique propositionnelle. La puissance de la logique propositionnelle de Frege réside dans son algèbre symbolique : les expressions formulées par des symboles et les règles de bonne formation permettent de construire et d’étudier des combinaisons infinies de propositions en manipulant exclusivement ces règles et ces symboles, indépendamment de la signification réelle des propositions.

Evidemment, tous les mathématiciens du monde ne sont pas logicistes. Il existe alors quatre école de pensée portant sur la philosophie des mathématiques : l’école empiriste, l’école idéaliste, l’école intuitionniste (ou constructiviste dont faisaient partie Kronecker, Poincaré, Borel), l’école logiciste (Dedekind, Cantor, Peano, Frege et Russell, pour qui « exhiber l’objet n’est pas l’objet de leur discours »). Alors que les logicistes considèrent que les mathématiques sont formées sur la seule logique, les constructivistes affirment que les systèmes arithmétiques et géométriques sont construits à partir de l’intuition et de la perception du réel et qu’il est indispensable d’exhiber l’objet mathématique à l’aide d’un algorithme, la preuve de son existence par la logique ne suffit pas. Les logicistes sont donc qualifiés de réductionnistes. Cela ne les empêche pas de caractériser ce qu’on appelle un système formel, qui sera la base théorique de l’axiomatisation des mathématiques.
Le premier à tenter de s’y coller est Weierstrass (1815-1897) lorsqu’il entreprend de reconstruire l’analyse sur l’arithmétique, c’est à dire à partir de la notion de nombre. Or, il s’aperçoit en 1863 que l’on manipule les nombres entiers, les nombres relatifs, les nombres rationnels, les nombres irrationnels alors qu’il manque cruellement une construction des fondements logiques de l’arithmétique, c’est à dire une définition rigoureuse du nombre, et plus particulièrement du nombre irrationnel (celui qui ne peut pas s’écrire a/b comme par exemple racine de 2, racine de 3, pi, etc.). Il faut donc en premier lieu axiomatiser l’arithmétique, avant d’envisager d’axiomatiser quelque autre branche des mathématiques, car « l’arithmétique est la base concrète, intuitive et absolument rigoureuse de toutes les mathématiques » . Weiertrass élabore alors la première construction de l’ensemble des nombres irrationnels, que Cantor complètera plus tard avec le succès que l’on connaît - voir paragraphe 2.

Cependant, c’est Frege dans son Grundlagen der Arithmetik (1884) qui le premier tente de reconstruire toute l’arithmétique sur la seule logique. Il fait preuve d’une grande rigueur dans le langage des ensembles et développe le raisonnement déductif ; mais ses notations, fort complexes, font tort à ses travaux, et découragé par les critiques de ses pairs, Frege abandonnera ses recherches.

Dans les pas de Frege, G. Peano (1858-1932) propose une axiomatisation de l’arithmétique de IN en 1889 dans Arithmetics Principia Nova Methodo Exposita. Il introduit de nouvelles notations : pour le quantificateur existentiel, pour l’inclusion, pour l’ensembles des entiers naturels (IN, naturale). Il ajoute l’axiome d’induction ainsi que le principe de raisonnement par récurrence et construit la logique des prédicats.

Il propose également une définition des entiers naturels comme le nombre d’éléments d’un ensemble, ce que Cantor appellera le cardinal et que Zermelo écrira comme les cardinaux respectifs de l’ensemble vide, de l’ensemble contenant l’ensemble vide, de l’ensemble contenant l’ensemble vide et l’ensemble de l’ensemble vide, etc...(que je ne peux écrire qu’ainsi sans utiliser de symbole)

Les travaux de Peano placent alors l’arithmétique comme exemple fondateur du bon fonctionnement de l’axiomatisation à l’aide de la logique propositionnelle. Ses recherches influenceront grandement Hilbert lorsque celui-ci publia en 1899 les Grundlagen der Geometrie.

L’ensemble des entiers naturels a donc maintenant un nom IN et une axiomatisation. Les autres nombres connus, à savoir les rationnels, les irrationnels et les nombres transcendants, attendent toujours une axiomatisation ou tout au moins une définition de leur existence. Parallèlement aux travaux innovants de Boole, Frege et Peano, les mathématiciens de Göttingen (Weierstrass, Dedekind et Cantor) portent donc leur attention sur la construction des nombres irrationnels et transcendants, et se heurtent à l’absence d’une définition rigoureuse de la continuité et de la limite infinie.

2. CANTOR - LE CONTINU ET LES TRANSFINIS

2.1. Deux notions indéterminées : continuité et limite

Au début du 19ème siècle, Karl Friedrich Gauss (1777-1855) et surtout Augustin Louis Cauchy (1789-1857) approfondissent la branche de l’analyse et donnent des définitions formelles des notions de continuité d’une fonction, de limite d’une fonction en un point, de dérivabilité d’une fonction et d’intégrale. Ces définitions sont celles enseignées de nos jours dans les classes de lycée. Les travaux de Cauchy portent également sur les suites et les séries convergentes.
Cependant, la rigueur de Cauchy s’applique à une formalisation des notions, indépendamment de la définition de nombre. Or, c’est précisément l’absence de cette définition qui heurte l’entendement des mathématiciens de Göttingen : Bolzano, Weierstrass, Dedekind, Riemann et les autres, ont besoin d’une définition rigoureuse des nombres non rationnels pour pouvoir approfondir leurs travaux en analyse. Bolzano montre en 1817 que si une suite est convergente alors elle satisfait au critère de Cauchy, mais la réciproque pose problème : il existe des suites de Cauchy qui ne converge pas dans l’ensemble des nombres rationnels, noté IQ par Peano (quoziente). Par exemple, la suite 1 ; 1 - 1/3 ; 1 - 1/3 + 1/5 ; 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7, ... ne converge pas dans IQ. L’ensemble IQ n’est donc pas fermé pour l’opération « limite de suite de Cauchy ». Une question se pose alors : si une suite de Cauchy converge vers une limite L non rationnelle, alors quelle est la nature de L ? On sait par ailleurs qu’il existe d’autres nombres, comme les nombres irrationnels et les nombres transcendants. Alors la limite L peut-elle être définie comme un nombre irrationnel ou transcendant ? La question reste entière et demande à ce que la notion de limite soit étendue aux nombres irrationnels.

2.2. La théorie des ensembles et la construction de IR

En 1872, Georg Cantor (1845-1918) rencontre Richard Dedekind (1831-1916) en Suisse et commence avec lui ses travaux sur les nombres irrationnels et sur la théorie des ensembles.
L’intuition de Cantor l’amène à considérer l’axiome suivant : la droite géométrique représente le continu et peut être mise en bijection avec l’ensemble des grandeurs numériques - dans la mesure où chaque point M de la droite correspond à un unique nombre, l’abscisse de M, distance algébrique (+ou-) du point M à un point O fixé, l’origine. Cantor nomme réels (1883) ces grandeurs numériques (rationnels, irrationnels ou transcendants) et s’engage à définir analytiquement l’ensemble noté IR des nombres réels, caractérisé par le continu.

En 1872, Dedekind s’était déjà penché sur la question du continu dans son Stetgkeit und irrationale Zahlen, où il donne la définition d’un ensemble infini : est dit infini tout ensemble qui peut être mis en bijection avec l’une de ses parties - contraposée de l’axiome d’Euclide qui affirme que tout ensemble est plus grand que sa partie, ce qui reste valable pour les ensembles finis. Concernant la construction de l’ensemble continu des nombres réels, l’approche de Dedekind est arithmético-algébrique : il traite toute sorte de problèmes mathématiques en termes de structures. Il part des pré requis suivants :

- 1) IQ est fermé pour les 4 opérations ;
- 2) il existe une relation d’ordre total dans IQ ;
- 3) IQ est dense, c’est à dire qu’il existe au moins un rationnel entre deux rationnels quelconques.

Puis, il effectue des coupures dans IQ et définit ainsi, à l’aide de la relation d’ordre, l’ensemble des irrationnels contenant IQ. C’est la première définition du continu portant sur les nombres, mais elle est difficile à appréhender d’une point de vue intuitif.

L’approche de Cantor est géométrico-analytique : il procède par passage à la limite des suites de Cauchy. L’idée de Cantor est de montrer que les suites de Cauchy non convergentes dans IQ, convergent vers des nombres irrationnels ou transcendants : il complète ainsi l’ensemble IQ par ces nombres et montre donc que toute suite de Cauchy qui converge admet une limite dans IR. Cette démonstration définit non seulement l’ensemble de toutes les grandeurs numériques connues, les nombres réels, mais aussi elle définit la continuité de l’ensemble IR, puisque entre deux nombres réels quelconques, il existe au moins un autre nombre réel, défini comme limite d’une suite de Cauchy convergente. Et c’est en 1883, année de publication des Grundlagen, Fondements d’une théorie générale des ensembles, que Cantor présente sa construction de IR, comme complétion de IQ : La bijection entre la droite réelle et l’ensemble des nombres réels est donc établie. Reste que ce nouvel ensemble définit aussi le continu et que cette notion appelle un approfondissement. Cantor se propose alors de continuer sa construction de la théorie des ensembles, afin de caractériser les propriétés inhérentes aux différents ensembles de nombres (IN, Z, ID, IQ, IR).

2.3. La puissance du continu

Son premier travail consiste à nommer le nombre d’éléments contenus dans un ensemble : le cardinal. Il constate que l’ensemble IN des entiers naturels est non seulement infini, au sens de Dedekind, mais qu’il est aussi dénombrable, en ce sens que l’on pourrait dénombrer, compter le nombre d’éléments qu’il contient (dans l’absolu). L’ensemble IN est alors qualifié de dénombrable et il lui assigne le symbole w pour désigner son cardinal. Puis Cantor se met en tête de démontrer que IR n’est pas dénombrable, c’est à dire qu’il n’existe pas de bijection entre IN et IR, ceci afin de caractériser plus précisément le continu de IR comme l’indénombrable, l’indivisible, l’incommensurable.

A cet effet, on peut rappeler l’expérience de Zénon d’Elée lorsque celui-ci décompose ou divise le mouvement, donc la continuité, en instants, de telle sorte à montrer l’impossibilité du mouvement. Dans ce que rapporte Aristote de cette expérience, soulignons que Zénon considérait le continu comme une suite d’instants divisibles et c’est cette conception erronée qui lui fit aboutir à un paradoxe. En effet, le temps s’écoule continûment, chaque instant n’étant pas séparé de l’instant suivant. C’est le continu physique (temps et espace) où le tout et les parties tiennent ensemble, sans possibilité de discrimination, sans trou, sans séparation.

Cantor enchaîne les définitions de sa théorie des ensembles :
- 1) L’ensemble IN des entiers naturels est infini et est qualifié de dénombrable tout ensemble qui peut être mis en bijection avec IN ;
- 2) Est dit continu tout ensemble qui n’est pas dénombrable, qui n’a pas de « trou », qui n’est pas divisible, et qui peut être mis en bijection avec l’unique exemplaire à disposition, à savoir IR.

Cantor démontre d’abord que l’ensemble IQ et celui des nombres algébriques sont dénombrables et il soumet à Dedekind une première démonstration (par l’absurde) de la non dénombrabilité de IR en 1873, mais cette démonstration est très compliqué et ne satisfait pas entièrement Cantor (esthétique de la démonstration oblige).

En poursuivant ses recherches sur l’ensemble IR, Cantor emprunte à la géométrie projective (et plus particulièrement à Jacob Steiner, 1796-1863) le terme de « puissance » : deux figures ont même puissance si elles sont en bijection par une projection. Il se propose alors de caractériser précisément la puissance du continu, c’est à dire le cardinal de IR.
Tout d’abord, Cantor établit qu’il n’existe pas de bijection entre IN et l’intervalle [0,1]. Or, IR est en bijection avec l’intervalle [0 ;1] donc il n’existe pas de bijection entre IN et IR et finalement IR est non dénombrable.

Ensuite, il considère tout nombre réel de l’intervalle [0,1] comme une suite infinie d’entiers du type 0,x1x2x3x4 ... . Cette suite x1x2x3x4 ... où chaque xi est un entier, peut être représentée par une partie de IN. Or, si ? est la cardinal de IN, alors l’ensemble des parties de IN, qui s’écrit P(IN), a un cardinal égal à 2 ?

Il en déduit que IR et P(IN) ont même puissance et écrit la puissance du continu, c égal à 2 ? .
C’est en fait en 1893 que Cantor utilisera la notation ? , pour désigner le cardinal de IN ; ? (aleph) est la première lettre de l’alphabet hébreu et désigne également le chiffre 1.

2.4. Les nombres transfinis - la suite des aleph

Poursuivant ses travaux, entre deux séjours en hôpital psychiatrique, il affirme qu’ « il n’existe aucun ensemble infini qui ne soit dénombrable ni continu, entendu que la puissance du continu est immédiatement supérieure à celle du dénombrable  ». C’est ce que l’on appelle l’hypothèse du continu, qui fera plancher nombre de mathématiciens et qui fera l’objet de d’un des 15 problèmes que Hilbert posera au nouveau siècle.

Pensant pouvoir exhiber d’autres puissances successives de c, Cantor poursuit ses travaux. C’est alors qu’il exhibe, à son grand étonnement, une bijection entre IR et IR x IR et entre [0,1] et [0,1] x [0,1]. Les démonstrations sont très compliquées, mais la rigueur de Cantor ne le fait pas douter qu’il a trouvé là quelque chose de totalement inédit : une surface continue peut donc être mise en bijection avec un segment continu ; la surface, de dimension 2, et le segment, de dimension 1, ont donc même puissance. Avec cette approche géométrique, Cantor fait de la topologie, en ce sens qu’il étudie la possibilité de mettre en bijection une surface et une courbe, et montre que la continuité assure l’invariance de la puissance. A propos de cette découverte, il écrit en 1877 à Dedekind : « Je le vois mais je ne le crois pas  », en français dans le texte.

Il envisage alors de construire la suite croissante infinie des nombres cardinaux, la suite des Aleph, suite des puissances transfinies et s’aperçoit qu’une symbolisation est nécessaire : il utilise la lettre ?1 pour désigner la puissance du continu et nomme ?2 ?3 ?4 etc, la suite des puissances transfinies. Sa démonstration est d’un haut niveau et je ne pourrais l’exposer ici - d’ailleurs, tel n’est pas l’objectif.

La théorie cantorienne présente certains défauts, sur lesquels les successeurs de Cantor ont planché. Par ailleurs, la construction des transfinis posa un problème métaphysique à son inventeur, dans la mesure où elle remettait en question la distinction philosophique entre l’infini potentiel et l’infini actuel.

Quoiqu’il en soit, le génie de Cantor a eu un impact foudroyant sur toutes les théories mathématiques qui, à cette époque, avaient entamé la reconstruction de leurs fondements. L’histoire ne s’arrête pas là, puisqu’elle continue de plus belle jusqu’à aujourd’hui et connaît entre temps les axiomatisations de Hilbert, de Zermelo-Fraenkel et l’étonnante volonté encyclopédique des Bourbakistes durant les années 1950, qui marqua profondément les esprits des écoliers confrontés à la mathématique moderne.

3. CONCLUSION DES DEUX SEANCES

Les discontinuités dans l’histoire de la Géométrie sont une représentation éloquente des transformations et des mouvements internes aux mathématiques. La construction de l’ensemble IR par Cantor marque à la fin du 19ème siècle une étape significative dans l’histoire de l’arithmétique, compte tenu que jusque là, seuls les nombres rationnels étaient connus et manipulés en toute connaissance. On peut affirmer que les mathématiques n’ont jamais été une science dite « exacte », bien qu’elles aspiraient à le devenir et qu’elles revendiquaient une rigueur exemplaire. Par contre, la crise des fondements engage la mathématique vers une rigueur intolérante et presque totalitaire envers la bévue, la méprise, l’erreur, l’ignorance, l’étourderie, bref, tout ce qui l’éloigne ou la détourne du Réel, en oubliant, en refoulant ceux qui ont fait ce qu’elle est, à savoir les parlêtres. Elle se montre alors ingrate, mais à la fois terriblement efficace et innovante.

Les premiers séminaires de Lacan se déroulent à l’époque où la crise des fondements en mathématiques a marqué les esprits par sa volonté de rigueur axiomatique et par la construction d’une structure englobant la totalité de cette discipline, jusque là éparpillée et morcelée. On l’a vu, la mathématique était plurielle et intuitive, engendrée par des études de cas particuliers, dont les généralisations ne se faisaient qu’à l’intérieur d’un modèle spéculatif mais restreint au domaine envisagé. La mathématique a évolué, elle s’est transformée au grés de la curiosité et de la persévérance de certaines hommes. Elle a généré une histoire, un langage, des naissances et aussi des décès, elle a connu des discontinuités, des bouleversements conceptuels et une crise - peut-on dire d’adolescence, étape de la vie où l’on se cherche des racines, des fondements pour mieux grandir et s’épanouir ? - elle a vécu et vit encore, traversant les phases existentielles liées à la découverte du monde et à la découverte de soi. A l’instar d’une existence humaine, la mathématique se métamorphose en continuité et en rupture. Contrairement à une existence humaine, la mathématique est infinie, éternelle. Elle nous survivra mais sera toujours tributaire de la capacité inventive et poétique de l’esprit humain.

Lacan, qui était un curieux obstiné, a certainement été interpellé par cette (r)évolution mathématique, d’autant plus qu’elle ouvrit d’immenses perspectives pour les autres sciences, qui soit dit en passant sont toutes humaines, voire « trumaines », à mon sens.

Le concept de continuité qui échappa aux mathématiques pendant deux millénaires est pourtant une caractéristique essentielle du temps et je dirais même de l’être. En effet, l’être se transforme ou mieux se métamorphose en continuité avec ce qu’il est, ce qu’il a été et ce qu’il sera. C’est ce que j’ai pu remarquer en analyse : « Nothing change. Everything change.  »

La continuité assure l’unicité.

P.-S.

BIBLIOGRAPHIE

Hourya Sinaceur, 1994, Jean Cavaillès, Philosophie mathématique, PUF, collection Philosophies

Gottlob Frege, 1971, Ecrits logiques et philosophiques, Traduction et introduction de Claude Imbert, Editions du Seuil, Points essais

Jean-Pierre Belna, 2000, Cantor, Les Belles Lettres, Figures du savoir

Jean Dieudonné, Maurice Loi, René Thom, 1982, Penser les mathématiques, Séminaire de philosophie et mathématiques de l’Ecole normale supérieure, Editions du Seuil, Points sciences

Nathalie Charraud, 1997, Lacan et les Mathématiques, Anthropos, Poche psychanalyse

Jacques Lacan, 1973, Les quatre concepts fondamentaux de la psychanalyse, 1964, Editions du Seuil

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