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Récréations Mathématiques

Le dilemme des trois maris jaloux

Problèmes plaisants et délectables

Date de mise en ligne : samedi 18 octobre 2003

Mots-clés :

Texte extrait des « Récréations Mathématiques » d’Edouard Lucas (1842-1891), Vol. 1, Gauthier-Villars, Paris, 1882.
- Première récréation : Le jeu des traversées en bateau.
- § 5 : La traversée des trois ménages.

Trois maris jaloux se trouvent avec leurs femmes au passage d’une rivière, et rencontrent un bateau sans batelier ; ce bateau est si petit, qu’il ne peut porter plus de deux personnes à la fois. On demande comment ces six personnes passeront, de telle sorte qu’aucune femme ne demeure en la compagnie d’un ou de deux hommes, si son mari n’est présent.

La solution de ce problème antique est contenue dans les vers latins que voici :

It duplex mulier, redit una, vehitque manentem ;
Itque una, utuntur tunc duo puppe viri.
Par vadit, redeunt bini ; mulierque sororem
Advehit ; ad propriam sive maritus abit.

En d’autres termes, désignons les maris jaloux par les grandes lettres A, B, C, et leurs femmes respectives par les petites lettres correspondantes a, b, c ; on a, au départ,

Première rive Deuxième rive
C B A
c b a

On opérera de la manière suivante, en observant qu’après chaque voyage le bateau est amarré à la seconde rive.

I. - Deux femmes passent d’abord

Première rive Deuxième rive
C B A
c b a

II. - Une femme revient et emmène la troisième

Première rive Deuxième rive
C B A
c b a

III. - Une femme revient, reste avec son mari, et les deux autres maris passent

Première rive Deuxième rive
C B A
c b a

IV. - Un mari revient avec sa femme qu’il laisse, et emmène l’autre mari :

Première rive Deuxième rive
C B A
c b a

V. - La femme passée revient chercher l’une des deux autres

Première rive Deuxième rive
C B A
c b a

VI. - Une femme (ou le mari) revient chercher la dernière

Première rive Deuxième rive
C B A
c b a

Au moyen de la réalisation du jeu par des cartes ou des jetons, il sera facile de comprendre le raisonnement de Bachet, que nous reproduisons ci-dessous :

« Il semble que cette question ne soit fondée en aucune raison ; mais toutefois la condition apposée qu’il ne faut point qu’aucune femme demeure accompagnée d’aucun des hommes si son mari n’est présent, nous peut guider pour trouver la solution d’icelle par un discours infaillible. Car il est certain que pour passer deux à deux, il faut ou que deux hommes passent ensemble ou deux femmes, ou un homme avec sa femme. Or, au premier passage, on ne peut faire passer deux hommes (car alors un homme seul demeurerait avec les trois femmes, contre la condition) ; donc il est nécessaire que deux femmes passent, ou qu’il passe un homme avec sa femme ; mais ces deux façons reviennent à une, d’autant que si deux femmes passent, il faut que l’une ramène le bateau ; partant une seule se trouve en l’autre rive, et si un homme passe avec sa femme, le même adviendra, d’autant que l’homme doit ramener le bateau (car si la femme le ramenait, elle se trouverait avec les deux autres hommes sans son mari).

Au second passage, deux hommes ne peuvent passer, car l’un deux lairrait sa femme accompagnée d’un autre homme ; un homme aussi avec sa femme ne peut passer (car, étant passé, il se trouverait seul avec deux femmes) ; il est donc nécessaire que les deux femmes passent : ainsi les trois femmes étant passées, il faut que l’une d’icelles ramène le bateau. Quoi fait, au troisième passage, où restent à passer les trois hommes et une femme, on voit bien que deux femmes ne peuvent passer, puisqu’il n’y en a qu’une ; un homme aussi avec sa femme ne peut passer (car étant passé il se trouverait seul avec les trois femmes) ; donc, il faut que deux hommes passent et allent vers leurs deux femmes, laissant l’autre avec la sienne. Or, qui ramènera le bateau ?

Un homme ne peut le faire (car il lairrait sa femme accompagnée d’un autre homme) ; une femme (ou deux femmes) ne peut aussi (car elle irait vers un autre homme en laissant son mari) ; que si les deux hommes le ramenaient, ce serait ne rien faire, car ils retourneraient là d’où ils sont venus. Partant, ne restant autre moyen, il faut qu’un homme avec sa femme ramène le bateau.

Au quatrième passage, où restent à passer deux hommes avec leurs deux femmes, il est certain qu’un homme avec sa femme ne doit passer (car ce serait ne rien faire) ; les deux femmes aussi ne peuvent passer (car alors les trois femmes seraient avec un seul homme) ; donc il faut que les deux hommes passent. Alors pour ramener le bateau, deux hommes ne peuvent être employés (car ce serait retourner là d’où ils sont venus) ; un homme seul aussi ne peut (car, cela fait, il se trouverait seul avec deux femmes) ; donc il faut que ce soit la femme qui, en deux fois, aille quérir les deux autres femmes qui restent à passer, et voilà le cinquième et le sixième passage. Partant, en six fois, ils sont tous passés sans enfreindre la condition [1] ».

Le raisonnement qui précède nous montre que le problème proposé ne comporte qu’une seule solution en six passages, au plus.

P.-S.

Edouard Lucas, Récréations Mathématiques, Vol. 1, Gauthier-Villars, Paris, 1882. Première récréation. - Le jeu des traversées en bateau. Section V : La traversée des trois ménages.

Notes

[1Bachet, Problèmes plaisants et délectables qui se font par les Nombres. Quatrième édition, revue, simplifiée et augmentée par A. Labosne. Paris, Gauthier-Villars, 1879, p. 148-150

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