La potencia del Continuo

Se podría calificar la historia matemática de
metamorfosis continua… Es posible en esto
que las matemáticas difieren de las ciencias
físicas y biológicas, en las cuales todo
descubrimiento no es más que temporal y
destinado a ser más tarde refutado, o mejor corregido, en los detalles. En matemáticas
todo teorema demostrado tiene validez y
vida eterna, al interior del sistema en el cual
la demostración ha sido realizada.
Sin embargo, si alguna demostración
persistente no ha sido desmentida en el curso
de la historia, es falso afirmar que toda
aserción matemática ha sido rigurosamente
desmostrada y validada. En efecto, después
de la Antigüedad con Platón y Euclides y esto
hasta finales del siglo 19, las matemáticas
funcionaban demasiado bien y demasiado
con la intuición. Los Elementos de Euclides
formaron una axiomatización exhaustiva de
la aritmética y de la geometría. La adecuación
entre el mundo real y la modelización
matemática es garantía de la buena
utilización de la intuición para construir y
estudiar las nuevas nociones. Se manipula a
los seres matemáticos (números, distancias,
lugares, continuidad, límite, infinitos, etc.) sin
haberlos definido inicialmente precisamente
porque son validadas intuitivamente por la
aserción del entendimiento humano.

1. FIN DEL SIGLO 19 – LAS
MATEMÁTICA SALEN DE LA
INTUICIÓN Y SE ORIENTAN HACIA UN
RIGOR -.

1.1 Las matemáticas son endógenas e
inútiles.

Durante más de dos milenios, la actividad del
matemático estuvo anclada en modelar lo
Real a partir de la intuición perceptiva que él
que tenga de ese Real ; pero el matemático es
ante todo un hombre o una mujer y como lo
señala Jean Dieudonné « hay una especie de
curiosidad innata y natural del ser humano
de resolver enigmas ». Así, muchos de los
matemátocos nacieron de la resolución de
enigmas totalmente desconectados del Real, o
todo eso al menos [lejos] de la aplicabilidad
de los resultados a una técnica que el hombre
habría buscado dominar (como es
necesariamente el caso en química, en
biología, etc.). Entonces, a la pregunta « ¿Para
qué sirven las matemáticas ? », Platón habría
respondido, para gusto de sus sucesores: « ¡Las matemáticas no deben servir para nada ! »

Por lo tanto, él despreciaba toda tentativa de
utilización de las matemáticas para la
construcción de máquinas, afirmando que el
pensamiento matemático no podía reducirse
a una aplicación cualquiera a las técnicas. De
este modo, la idea de que las matemáticas
provenían de las necesidades técnicas es
extremadamente reciente y del todo errónea.
Las matemáticas son por esencia endógenas y
autárquicas. Afortunadamente, Platón no fue
obedecido y la aplicación de las matemáticas
constituye todavía una fuente importante de
descubrimientos y de invenciones no
insignificantes y participa en la evolución de
la ciencia y de las técnicas.

1.2. En el curso del siglo 19, en Göttingen y en
París, muchos movimientos trazaron en
paralelo la dirección que llevará a la
revolución matemática de los años 1880.

La particularid de ese siglo es que los trabajos
en matemáticas y en física tienden a alejarse
de la percepción intuitiva del real poniendo
en evidencia la existencia de las superficies
curvas y estudiando sus propiedades
específicas. En aquellos decenios de años, la
geometría no euclidiana se desarrolló y la
geometría clásica, basada en los axiomas
euclidianos, no fueron considerados sino
como un caso particular de una ciencia más
general del espacio.

Se recuerda que en 1832, durante la noche
anterior al duelo que le será mortal, Evariste
Galois (1811-1832), a la edad de 20 años,
escribe su testamento matemático, que versa
sobre la teoría de los grupos. Sólo 40 años
más tarde, el nombre de Galois será
inmortalizado en la historia de las
matemáticas, gracias al homenaje que le
rinde M. Jordan (1838 – 1922) en su Tratado
de las substituciones y de las ecuaciones
algebraicas, en 1870. La teoría de los grupos
está implícitamente ligada a la idea de
estructura, y es precisamente esta idea de
estructura la que falta en múltiples campos
de las matemáticas. En efecto, la geometría
estudia los casos particulares de las figuras o
de las transformaciones, el análisis se interesa
por las propiedades de ciertas funciones ligadas a las curvas o a las trayectorias
específicas (sinusoides, cicloides, etc.), el
álgebra busca determinar las soluciones a las
ecuaciones de grado creciente, la aritmética se
preocupa de las operaciones sobre los
números. Pero todos los trabajos efectuados
hasta el momento no se refieren sino a los
casos singulares o destacables, desde la
observación, la intuición o la imaginación de
los Hombres. La teoría de los grupos tiene de
innovador que permite englobar en una
estructura los elementos de la misma
naturaleza y estudiar sus propiedades o sus
relaciones, sin necesidad de enumerar los
elementos ni de extraer un elemento en
particular. Félix Klein había captado bien el
objetivo conceptual de la teoría de los grupos
y en 1871, en Göttingen, retoma los trabajos
de Ferdinand Möbius sobre las
transformaciones continuas de la geometría
proyectiva y los inscribe en la geometría no
euclidiana ; [Felix Klein] emprende un
programa totalmente inédito de clasificación
de las invariantes de esas transformaciones
afines, con la ayuda de la teoría de los grupos
de Galois : el programa de Erlangen. Él es
considerado como el instigador de una teoría
algebraica de la geometría, creando así el
primer puente intra-matemático entre dos
disciplinas aparentemente bien distintas, el
álgebra y la geometría.

La aproximación intuitiva del pasaje continuo
de una forma a otra – dicho de otra manera,
de las transformaciones continuas – interesa
igualmente a Johann Benedickt Listing (1808-
1882), discípulo de Gauss, quien trabaja sobre
el Analysis Situs, rama de la geometría
inaugurada por Euler y Leibniz un siglo más
tarde. Listing rebautiza en 1836 esta rama de
las matemáticas como la topología, de topos=
lugar y logos= discurso, ciencia. Él
caracteriza la topología como el estudio de las
propiedades invariantes por transformación
biyectiva y bicontinua (lo que es
precisamente el objeto del programa de
Erlangen iniciado por Klein).

En consecuencia, se puede asimilar la
topología al grupo de la geometría de las
transformaciones biyectivas y bicontinuas, es
decir que la topología sería el estudio del grupo de los homeomorfismos del espacio de
la geometría no euclidiana.

1.3 El siglo 19 : una voluntad de rigor en
matemáticas

Como se ha visto de pasada anteriormente,
las demostraciones en geometría han estado
durante mucho tiempo estimuladas y
avaladas por la intuición del geómetra. En
efecto, las ausencias o las faltas de rigor (hoy
consideradas como tales a posteriori) son
esencialmente debidas a las representaciones
intuitivas del objeto matemático considerado
que conducen al geómetra a introducir las
proposiciones fundadas sobre su sola
intuición. Recíprocamente, si una
demostración terminaba en un resultado que
chocaba con el sentido común, [entonces] la
demostración debía contener un error o bien
había creado un monstruo – por ejemplo, la
irracionalidad de la diagonal de un cuadrado
era un monstruo para los pitagóricos que no
conocían sino los enteros o los racionales-.
Los matemáticos se transformaron, se
reformaron ; ciertos matemáticos no se
satisfacieron más con ese funcionamiento
contingente y bienaventurado de las pruebas
y experimentaron su voluntad de precisar el
rigor indispensable para su disciplina. A
mediados del siglo 17, Leibniz había
expresado el voto de construir un lenguaje
universal que permitiera formalizar y
expresar el pensamiento matemático. Euler
también trabajaba esto y, los dos,
introdujeron las escrituras simbólicas todavía
en uso en las matemáticas actuales. Pero, la
creación de una escritura específica no es
suficiente para definir la lengua de la ciencia
y las pruebas utilizando el cálculo simbólico
todavía contenían, en los siglos 17 y 18, los
presupuestos implícitos en donde la única
legitimidad es debido a la coincidencia con
una cierta realidad perceptiva o con una
evidencia geométrica.

En el siglo 19, las ciencias se alejaron de la
intuición, la adecuación a la realidad
perceptiva es abandonada : la verdad,
entonces, no está más garantizada por la
evidencia sino por la demostración deductiva
que debe ser irrevocablemente rigurosa.

1.4 La axiomatización y la lógica
proposicional – de Boole (1840) hasta Peano
(1889)

¿Cómo definir el rigor en el empleo
matemático ? Después de Euclides y
Arquímedes, una prueba se dice rigurosa si
ella parte de axiomas explícitos y si cada paso
de la demostración es construido siguiendo
una regla de deducción. El rigor requiere por
lo tanto de una axiomatización de la teoría en
la cual la demostración se lleva a cabo.
Euclides y Arquímedes habían construido
una axiomática satisfactoria hasta ahí. Pero el
descubrimiento de la geometría no euclidiana
y la existencia de aberraciones, como la curva
discontinua derivable en todo punto, dieron
cuenta de los límites de la axiomática
euclidiana, más próxima a la intuición y a la
percepción del Real.

La idea de volver a fundar la axiomatización
de la matemática se desarrolla y se cuestiona.
« Si había un origen de toda las matemáticas,
entonces, ¿de cuáles primeros elementos está
hecha ella ? « En otras palabras, ¿cuáles son
los primeros axiomas de los fundamentos de
las matemáticas ? Se desprende una nueva
concepción del rigor y de la axiomatización :
los axiomas y las reglas de deducción deben
ser explícitas y no referirse más que a los
objetos abstractos o formales, desprendidos
de todo contenido intuitivo o real. « Los
axiomas no formulaban entonces las hipótesis
sobre los objetos del mundo. Esos son los
enunciados ligados a otros por una relación de
deducción .»

El logicismo, iniciado por Georges Boole
(1815-1864), responde totalmente a esas
exigencias de formalización privada de
contenido intuitivo. En 1847, en The
mathematical analysis of logic, Boole introduce
la noción de conjunto algebraico y los
símbolos U y U invertida - [∩] - para
significar la unión y la intersección de dos
conjuntos. Él presenta igualmente las reglas
que se articulan en las leyes generales del
pensamiento permitiendo manipular esos
símbolos en una teoría conjuntista y puede
ser considerado como el precursor de la
lógica matemática contemporánea. Treinta
años más tarde, influenciado por las álgebras de Boole, Gottlob Frege (1848-1925)
desarrolla el lenguaje formalizado con el
cálculo de las proposiciones y la teoría de la
cuantificación en 1879 en Begriffsschrift. Él
propone los símbolos (y, o, implicación,
equivalencia) y las reglas de buena formación
(de inferencia) y de cierre que definen la
lógica proposicional. El poder de la lógica
proposicional de Frege reside en su álgebra
simbólica : las expresiones formuladas por los
símbolos y las reglas de buena formación
permiten construir y estudiar las
combinaciones infinitas de las proposiciones
manipulando exclusivamente las reglas y los
símbolos, independientemente de la
significación real de las proposiciones.

Evidentemente, todos los matemáticos del
mundo no son lógicos. Existen entonces
cuatro escuelas de pensamiento referidas a la
filosofía de las matemáticas : la escuela
empirista, la escuela idealista, la escuela
intuicionista (o constructivista de la cual
hacían parte Kronecker, Poincaré, Borel), la
escuela logicista (Dedekind, Cantor, Peano,
Frege y Russell, para quienes « exhibir el
objeto no es el objeto de su discurso »).
Mientras que los logicistas consideran que las
matemáticas están formadas sólo sobre la
lógica, los constructivistas afirman que los
sistemas aritméticos y geométricos están
construidos a partir de la intuición y de la
percepción del real y que es indispensable
exhibir el objeto matemático con ayuda de un
algoritmo, no siendo suficiente la prueba de
su existencia por la lógica. Los lógicos son,
entonces, calificados de reduccionistas. Esto
no les impedirá caracterizar lo que se llama
un sistema formal, el cual será la base teórica
de la axiomatización de las matemáticas. El
primero en intentar plasmarlo es Weierstrass
(1815-1897) en la medida en que él emprende
construir el análisis de la aritmética, es decir a
partir de la noción de número. Entonces, él se
percata, en 1863, que se manipula los números
enteros, los números relativos, los números
racionales, los números irracionales, mientras
que falta cruelmente una construcción de los
fundamentos lógicos de la aritmética, es decir,
una definición rigurosa del número, y más
particularmente del número irracional (ese que
no puede ser escrito a/b como por ejemplo la raíz de 2, raíz de 3, pi, etc.). Hace falta
entonces, en primer lugar, axiomatizar la
aritmética, antes de considerar axiomatizar
cualquier otra rama de las matemáticas, pues
« la aritmética es la base concreta, intuitiva y
absolutamente rigurosa de todas las
matemáticas ». Weiertrass elabora entonces la
primer contrucción del conjunto de números
irracionales, que Cantor completará más
tarde con el éxito que se sabe –ver parágrafo
2-.

Sin embargo, es Frege en su Grundlagen der
Arithmetik (1884) el primero en intentar
reconstruir toda la aritmética únicamente a
partir de la lógica. Él demuestra un gran rigor
en el lenguaje de los conjuntos y desarrolla el
razonamiento deductivo ; pero sus
notaciones, demasiado complejas, fueron un
error en su trabajo, y, desanimado por las
críticas de sus pares, Frege abandonará sus
investigaciones.

En la línea de Frege, G. Peano (1858-1932)
propuso una axiomatización de la aritmética
de IN 2 en 1889 en Arithmetics Principia Nova
Methodo Exposita. Él introduce nuevas
notaciones : para el cuantificador existencial,
para la inclusión, para el conjunto de los
enteros naturales (IN, naturale). Agrega el
axioma de inducción así como el principio de
razonamiento por recurrencia y construye la
lógica de predicados.

Él propone igualmente una definición de los
enteros naturales como el número de
elementos de un conjunto, lo que Cantor
llamará el cardinal y que Zermelo escribirá
como los cardinales respectivos del conjunto
vacío, del conjunto que contiene el conjunto
vacío, del conjunto que contiene el conjunto
vacío y el conjunto del conjunto vacío, etc…
(que yo no puede escribir así sin utilizar los
símbolos).

Los trabajos de Peano colocan entonces a la
aritmética como ejemplo fundador del buen funcionamiento de la axiomatización con
ayuda de la lógica proposicional. Sus
investigaciones influenciaron enormemente a
Hilbert hasta [el grado de] llegar a publicar
en 1899 los Grundlagen der Geometrie.

El conjunto de los enteros naturales tiene
desde ahora un nombre IN y una
axiomatización. Los otros números
conocidos, a saber los racionales, los
irracionales y los números trascendentes,
esperan todavía una axiomatización o al
menos una definición de su existencia.
Paralelamente a los trabajos innovantes de
Boole, Frege y Peano, los matemáticos de
Göttingen (Weierstrass, Dedekind y Cantor)
pusieron luego su atención sobre la
construcción de los números irracionales y
trascendentales, y se chocaron con la ausencia
de una definición rigurosa de la continuidad
y del límite infinito.

2. CANTOR – EL CONTINUO Y LOS
INFINITOS

2.1 Dos nociones indeterminadas :
continuidad y límite

Al comienzo del siglo 19, Karl Friedrich
Gauss (1777 – 1855) y sobre todo Augustin
Louis Cauchy (1789-1857) profundizaron la
en la rama del análisis y dieron las
definiciones formales de las nociones de
continuidad de una función, de límite de una
función en un punto, de derivabilidad de una
función y de la integral. Esas definiciones son
enseñadas en nuestras horas de clases en el
colegio. Los trabajos de Cauchy tratan
igualmente sobre las series y las series
convergentes. Sin embargo, el rigor de
Cauchy se aplica a una formalización de las
nociones, independientemente de la
definición del número. Entonces, es
precisamente la ausencia de esta definición
que choca al entendimiento de los
matemáticos de Göttingen : Bolzano,
Weierstrass, Dedekind, Riemann y otros,
tienen necesidad de una definición rigurosa
de los números no racionales para poder
profundizar sus trabajos en análisis. Bolzano
muestra en 1817 que si una serie es
convergente entonces ella satisface el criterio de Cauchy, pero no así la recíproca: existen
las series de Cauchy que no convergen en el
conjunto de números racionales, notado IQ
por Peano (cociente 3). Por ejemplo, la serie 1 ;
1 – 1/3 ; 1-1/3+1/5 ;

1-1/3+1/5-1/7,… no converge en IQ. El
conjunto IQ no es cerrado entonces por la
operación « límite de serie de Cauchy ».
Surge entonces una pregunta: si una serie de
Cauchy converge hacia un límite L no
racional, entonces ¿es esa la naturaleza de L ?
Se dice, por otra parte, que existen otros
números, como los números irracionales y los
números trascendentales. ¿Entonces el límite
L puede ser definido como un número
irracional o trascendente ? La pregunta queda
por completo y exige que la noción de límite
sea extendida a los números irracionales.

2.2. La teoría de los conjuntos y la
construcción de IR4

En 1872, Georg Cantor (1845-1918) encuentra
a Richard Dedekind (1831-1916) en Suiza y
comienza con él sus trabajos sobre los
números irracionales y sobre la teoría de
conjuntos. La intuición de Cantor lo llevó a
considerar el siguiente axioma : la recta
geométrica representa el continuo y puede
ser puesta en biyección con el conjunto de las
magnitudes numéricas – en la medida en que
cada punto M de la recta le corresponde a un
único número, la abscisa de M, distancia
algebraica (+ ó -) del punto M a un punto O
fijo, el origen. Cantor nombra reales (1883) a
esas magnitudes numéricas (racionales,
irracionales o trascendentes) y se encamina a
definir analíticamente el conjunto notado IR
de los números reales, caracterizado por el
continuo.

En 1872, Dedekind ya se había inclinado
hacia la cuestión del continuo en su Stetigkeit
und irrationale Zahlen, donde él da la
definición de un conjunto infinito : se llama
infinito a todo conjunto que puede ser puesto
en biyección con una de sus partes –
contraposición del axioma de Euclides que
afirma que todo conjunto es más grande que su parte, lo que es válido para los conjuntos
finitos. Relativo a la construcción del
conjunto continuo de los números reales, la
aproximación de Dedekind es aritméticoalgebraica
: él trata toda suerte de problemas
matemáticos en términos de estructuras. Él
parte de los pre-requisitos siguientes :

1) IQ es cerrado para las 4 operaciones ;

2) Existe una relación de orden total en
IQ;

3)IQ es denso, es decir que existe al menos
un racional entre dos racionales
cualquiera.

Después, efectua los cortes en IQ y define así,
con ayuda de la relación del orden, el
conjunto de irracionales contenidos en IQ. Es
la primera definición del continuo referido
sobre los números, pero ésta es difícil de
aprehender desde un punto de vista
intuitivo.

La aproximación de Cantor es geométricaanalítica
: él procede por pasaje al límite de
las series de Cauchy. La idea de Cantor es la
de mostrar que las series de Cauchy no
convergentes en IQ, convergen hacia los
números irracionales o trascendentes : él
completa así el conjunto IQ por esos números
y muestra entonces que toda serie de Cauchy
que converge admite un límite en IR. Esta
demostración define no solamente el
conjunto de todos las magnitudes numéricas
conocidas, los números reales, sino que
también ella define la continuidad del
conjunto IR, puesto que entre dos números
reales cualquiera, existe al menos un otro
número real, definido como límite de una serie
de Cauchy convergente. Y es en 1883, año de
publicación de los Grundlagen, Fondements d´une
théorie generale des ensembles, que Cantor
presenta su construcción de IR, como
completación5 de IQ: La biyección entre la
recta real y el conjunto de números reales es
entonces estable. Queda que este nuevo
conjunto define también el continuo y que esta
noción requiere ser profundizada. Cantor se
propone entonces continuar su construcción de
la teoría de conjuntos, con el fin de caracterizar las propiedades inherentes a los
diferentes conjuntos de números (IN, Z, ID, IQ,
IR).

2.3 La potencia del continuo

Su primer trabajo consiste en numerar el
número de elementos contenidos en un
conjunto : el cardinal. Él, [Cantor], constata
que el conjunto IN de los enteros naturales no
es solamente infinito, en el sentido de
Dedekind, sino que también es enumerable,
en el sentido que se podría enumerar, contar
el número de elementos que él contiene (sin
ser absoluto). El conjunto IN es entonces
calificado de enumerable y él le asigna el
símbolo w para designar su cardinal. Luego
Cantor se empecina en demostrar que IR no
es enumerable, es decir que no existe
biyección entre IN y IR, esto con el fin de
caracterizar más precisamente el continuo de
IR como lo innumerable, lo indivisible, lo
inconmensurable.

A este efecto, se puede recordar la
experiencia de Zenón de Elea en cuanto él
descompone o divide el movimiento, pues la
continuidad, en instantes, de manera tal para
mostrar la imposibilidad del movimiento. En
lo que refiere Aristóteles de esta experiencia,
señalemos que Zenon consideraba el
continuo como una serie de instantes
divisibles y es esta concepción errónea la que
le llevó a una paradoja. En efecto, el tiempo
se desvanece continuamente, no siendo
separado cada instante del instante siguiente.
Es el continuo físico (tiempo y espacio) donde
el todo y las partes se conjuntan, sin
posibilidad de discriminación, sin agujero,
sin separación.

Cantor encadena las definiciones de su
teoría de conjuntos :

1) El conjunto IN de los enteros naturales
es infinito y es calificado de enumerable
todo el conjunto que pueda ser puesto en
biyección con IN;

2) Es llamado continuo todo conjunto que
no es enumerable, que no tiene
« agujero », que no es divisible, y que
puede ser puesto en biyección con el
único ejemplo a disposición, a saber IR.

Cantor demuestra primero que el conjunto IQ
es aquel de los números algebraicos que son
enumerables y somete a Dedekind una
primera demostración (por el absurdo) de la
no enumerabilidad de IR en 1873, pero esta
demostración es muy complicada y no
satisface por completo a Cantor (la estética de
la demostración obliga).

Prosiguiendo las investigaciones sobre el
conjunto IR, Cantor toma de la geometría
proyectiva (y más particularmente a Jacob
Steiner, 1796-1863) el término de
« potencia » : dos figuras tienen la misma
potencia si ellas están en biyección por una
proyección. Él se propone entonces
caracterizar precisamente la potencia del
continuo, es decir, el cardinal de IR. En el
comienzo, Cantor establece que no existe
biyección entre IN y el intervalo [0,1]. Así
pues, IR está en biyección con el intervalo
[0 ;1] entonces no existe biyección entre IN y
IR y finalmente IR es no enumerable.

Seguidamente, considera todo número real
del intervalo [0,1] como una serie infinita de
enteros del tipo 0,x1x1x3x4… . Esta serie
x1x2x3x4… donde cada xi es un entero,
puede ser representada por una parte de IN.
Pues, si א es el cardinal de IN, entonces el
conjunto de las partes de IN, que se escribe
P(IN), tiene un cardinal igual a 2^א

Él dedujo que IR y P(IN) tienen la misma
potencia y escribe la potencia del continuo, c
igual a 2 א. Es de hecho en 1893 que Cantor
utilizará la notación א , para designar el
cardinal de IN; א (aleph) es la primera letra
del alfabeto hebreo y designa igualmente la
cifra 1.

2.4 Los números transfinitos – la serie de los
aleph

Prosiguiendo sus trabajos, entre dos ingresos
en un hospital psiquiátrico, [Cantor]
afirma que « no existe algún conjunto infinito
que no sea enumerable ni continuo, convenido que
la potencia del continuo es inmediatamente
superior a aquella de lo enumerable ». Esto que
se llama la hipótesis del continuo, hará trabajar a un número de matemáticos y será
el objeto de uno de los 15 problemas que
Hilbert colocará en el nuevo siglo. Pensando
en poder exhibir otras potencias sucesivas de
c, Cantor persigue IR x IR y entre [0,1] y
[0,1]x[0,1]. Las demostraciones son muy
complicadas, pero el rigor de Cantor no le
hace dudar que ha encontrado aquella cosa
totalmente inédita : una superficie continua
puede ser, entonces, puesta en biyección con
un segmento continuo ; la superficie, de
dimensión 2, y el segmento, de dimensión 1,
son entonces de la misma potencia. Con esta
aproximación geométrica, Cantor hace la
topología, en el sentido de que él estudia la
posibilidad de poner en biyección una
superficie y una curva, y muestra que la
continuidad asegura la invarianza de la
potencia. A propósito de este descubrimiento,
escribe en 1877 a Dedekind : «Je le vois mais je
ne le crois pas »6, en francés en el texto.

[Cantor] contempla entonces construir la
serie creciente infinita de números cardinales,
la serie de los Aleph, serie de potencias
transfinitas, y se da cuenta de que se requiere
una simbolización : utiliza la letra 1א para
designar la potencia del continuo y numera
4א 3א 2א etc, a la serie de potencias
transfinitas. Su demostración es de un alto
nivel y yo no podría explicarla acá – además,
ese no es el objetivo [de este texto]-.

La teoría cantoriana presenta ciertas fallas,
sobre las cuales los sucedores de Cantor han
trabajado. Por lo demás, la construcción de
los transfinitos planteó un problema
metafísico a su inventor, en la medida en que
ésta pone en cuestión la distinción filosófica
entre el infinito potencial y el infinito actual.

Sea lo que sea, la genialidad de Cantor ha
tenido un impacto sobre todas las teorías
matemáticas que, para esta época, habían
empezado la reconstrucción de sus
fundamentos. La historia no se detiene acá,
puesto que ella continua más bella hasta hoy
en día y conoce entre tiempos las axiomatizaciones de Hilbert, de Zermelo-Fraenkel y la
voluntad asombrosa de sus trabajos. Es
entonces que él exhibe, para su gran
asombro, una biyección entre IR y lo
enciclopédico de los bourbakistas durante los
años 1950, que marca profundamente los
espíritus de los académicos confrontados con
la matemática moderna.

3. CONCLUSIÓN DE LAS DOS SESIONES

Las discontinuidades en la historia de la
geometría son una representación elocuente
de las transformaciones y de los movimientos
internos de las matemáticas. La construcción
del conjunto IR por Cantor marca al final del
siglo 19 una etapa significativa en la historia
de la aritmética, puesto que hasta ese
momento, sólo los números racionales eran
conocidos y manipulados con todo
conocimiento. Se puede afirmar que las
matemáticas no han sido jamás una ciencia
« exacta », aunque ellas aspiran a devenirlo y
a reivindicar un rigor ejemplar. Al contrario,
la crisis de los fundamentos compromete a
las matemáticas hacia un rigor intolerante y
casi totalitario para con la equivocación, el
error, la ignorancia, el atolondramiento, en
resumen, todo lo que la aleja o la devuelve del
Real, olvidando, rechazando a los que hicieron
lo que ella es, a saber los hablanteseres. Ella,
[las matemáticas], se muestra entonces ingrata,
pero a la vez terriblemente eficaz e innovadora.

Los primeros seminarios de Lacan se
desarrollan en la época en que la crisis de los
fundamentos en matemáticas ha marcado a los
espíritus por su voluntad de rigor axiomático y
por la construcción de una estructura
englobante de la totalidad de esta disciplina,
hasta allí esparcida y desmenuzada. [Como ya]
se ha visto, las matemáticas son plurales e
intuitivas, engendradas por lo estudios de sus
particularidades, en donde las generalizaciones
no se hacen sino al interior de un modelo
especulativo más restringido al dominio
contemplado. Las matemáticas han
evolucionado, ellas se han transformado al
grado de la curiosidad y de la perseverancia de
ciertos hombres. Ella ha generado un historia,
un lenguaje, de los nacimientos y también de los decesos, ella ha conocido las discontinuidades,
las confusiones conceptuales y una crisis –
¿puede decirse de adolescencia, etapa de la vida
en donde se buscan las raíces, lo fundamentos
para crecer mejor y desarrollarse?–, ella ha
vivido y vive aún, atravesando las fases
existenciales ligadas al descubrimiento del
mundo y al descubrimiento de sí. Al gusto de
una existencia humana, las matemáticas se
metamorfosean en continuidad y ruptura.
Contrariamente a una existencia humana, las
matemáticas son infinitas, eternas. Ellas nos
sobrevivirán pero siempre serán tributarias de la
capacidad inventiva y poética del espíritu
humano.

Lacan, curioso obstinado, estuvo ciertamente
interpelado por esta (r)evolución matemática,
tanto más que ella abre inmensas
perspectivas para las otras ciencias, que dicho
de paso son todas humanas, hasta
« trumaines 7 », en mi opinión.
El concepto de continuidad que escapa a las
matemáticas durante dos milenios es, sin
embargo, una característica esencial del
tiempo y yo diría también que del ser. En
efecto, el ser se transforma o mejor se
metamorfosea en continuidad con lo que es
él, lo que él ha sido y lo que él será. Lo que yo
he podido destacar en análisis : « Nada cambia.
Todo cambia ».

La continuidad asegura la unicidad.